セカンドオピニオンやその他の理由から違う獣医さんを受診することのデメリットは
患者データを動物病院が新たに作ることにあります。

ホームドクターとも言える獣医さんなら簡単な説明で伝えられる所を
幼い頃からの病歴まで説明しなければならない場合もあるでしょう。

獣医師法第１９条

（診療及び診断書等の交付の義務）

1項　診療を業務とする獣医師は、診療を求められたときは、
正当な理由がなければ、これを拒んではならない。

２項　診療し、出産に立ち会い、又は検案をした獣医師は、
診断書、出生証明書、死産証明書又は検案書の交付を求められたときは、
正当な理由がなければ、これを拒んではならない。

この場合の診断書とは獣医師が診療並びに治療を行った場合、
その病状について獣医師の判断を記録した証明書です。
診断書には通常の診断書と治療中の動物が死亡した場合に
その死亡原因を記載した死亡診断書とがあります。

そして　なんらかの事故が生じた場合

飼い主が獣医師にペットの診療を依頼する行為は民法上、
準委任契約（民法６５６条）と考えられ、
民法の委任契約に関する規定（民法６４３条）が適用されると考えれます。

委任契約上、獣医師は善良なる管理者としての注意義務（「善管注意義務」といいます）をもって
医療行為を行う義務があります。
ですから、獣医師が故意に（わざと）、または、
過失で（不注意で）、この注意義務に違反した場合、
獣医師は飼い主に対し、債務不履行責任を負うことになり、
飼い主が被った損害を賠償しなければなりません。

第６４５条  受任者は、委任者の請求があるときは、いつでも委任事務の処理の状況を報告し、
委任が終了した後は、遅滞なくその経過及び結果を報告しなければならない。

また入院などで獣医師がペットを預かる行為は飼い主を委託者、
獣医師を受託者としてペットの保管をを約束して受託者が受け取ることで成立しますから、
民法上、物の管理を約束する委託契約（民法６５７条以下）であると考えられます。

受託者である獣医師は預かってから返すまで
自分の物を保管する場合より重い注意義務である、善官注意義務を負います。
この注意義務に違反して飼い主に損害を与えれば債務不履行で損害賠償責任を負います。

たとえ同意書や受諾書の中で事前に損害賠償請求権の放棄をさせていても
現在では消費者契約法により、
獣医師の債務不履行により飼い主に生じた損害の賠償する責任を免除する事項は無効になると考えられます。

一部「犬のお医者さん」を参考にさせていただきました。